Question

（2014?随州模拟）如图，AB为⊙O的弦，若OA⊥OD且BD=CD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当AC=3，OC=1，

（2014?随州模拟）如图，AB为⊙O的弦，若OA⊥OD且BD=CD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当AC=3，OC=1，BD=4时，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：连接BD，
∵OA=OB，DC=DB，
∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，
∵AO⊥OD，
∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，
∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，
∴∠ABO∠DBC=90°，即OB⊥BD，
则BD为圆O的切线；

（2）解：过D作DE⊥BC于E，
∵DC=DB，
∴CE=BE=

1

2

BC，
∵∠ACO=∠DCE，∠AOC=∠DEC=90°，
∴△AOC∽△DEC，
∴

AC

OC

=

CD

EC

=

BD

CE

，
∵AC=3，OC=1，BD=4，
∴CE=

BD?OC

AC

=

4×1

3

=

4

3

，
则BC=2CE=

8

3

．