Question

（2014?德州二模）如图在△ABC中，已知∠A=π3，BC=43，D为AB上一点．（Ⅰ）若CD=2，S△BDC=23，求BD长；

（2014?德州二模）如图在△ABC中，已知∠A=π3，BC=43，D为AB上一点．（Ⅰ）若CD=2，S△BDC=23，求BD长；（Ⅱ）若AC=AD，求△BCD周长的最大值．

Answer 1

．解：（Ⅰ）∵S_△BDC=

1

2

BC?CD?sin∠BCD=2

3

，
∴sin∠BCD=

1

2

∴∠BCD=

π

6

∵在△BCD中，由余弦定理得BD²=BC²+CD²-2BD?CD?cos∠BCD=4+48-2×2×4

3

×

3

2

=28，
∴BD=2

7

．
（Ⅱ）∵AC=AD，∠A=

π

3

，
∴△ACD为正三角形，
在△BCD中，由正弦定理得

DC

sinB

=

BD

sin( π 3 ?B)

=

BC

sin∠BDC

=8
∴DC=8sinB，BD=8sin（

π

3

-B），
∴△BCD周长为BD+DC+BC=4

3

+8sinB+8sin（

π

3

-B）=8sin（B+

π

3

）+4

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