Question

如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分

如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S4=S2+S3；②S2+S4=S1+S3；③若S3=2S1，则S4=2S2；④若S1=S2，则P点在矩形的对角线上．其中正确结论的序号是______（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h₁、h₂、h₃、h₄，
则S₁=

1

2

ABh₁，S₂=

1

2

BCh₂，S₃=

1

2

CDh₃，S₄=

1

2

ADh₄，
∵

1

2

ABh₁+

1

2

CDh₃=

1

2

AB?BC，

1

2

BCh₂+

1

2

ADh₄=

1

2

AB?CD，
∴S₂+S₄=S₁+S₃，故①错误，②正确；
③若S₃=2S₁，则2h₁=h₃，
S₂、S₄的大小无法判断，故本小题错误；
④若S₁=S₂，则

1

2

ABh₁=

1

2

BCh₂，
∴

h1

h2

=

BC

AB

，
∴点P在对角线BD上，故④正确；
综上所述，正确的结论是②④．
故答案为：②④．