Question

已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1

已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

（1）∵B（1，0），
∴OB=1；
∵OC=3BO，
∴C（0，-3）；（1分）
∵y=ax²+3ax+c过B（1，0）、C（0，-3），
∴

c＝?3 a+3a+c＝0

；
解这个方程组，得

a＝ 3 4 c＝?3

，
∴抛物线的解析式为：y=

3

4

x²+

9

4

x-3；

（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N
在y=

3

4

x²+

9

4

x-3中，令y=0，
得方程

3

4

x²+

9

4

x-3=0解这个方程，得x₁=-4，x₂=1
∴A（-4，0）
设直线AC的解析式为y=kx+b
∴

?4k+b＝0 b＝?3

，
解这个方程组，得

k＝? 3 4 b＝?3

，
∴AC的解析式为：y=-

3

4

x-3，
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC
=

15

2

+

1

2

?DM?（AN+ON）
=

15

2

+2?DM
设D（x，

3

4

x²+

9

4

x-3），M（x，-

3

4

x-3），DM=-

3

4

x-3-（

3

4

x²+

9

4

x-3）=-

3

4

（x+2）²+3，
当x=-2时，DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值

27

2

．