Question

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D。①在图甲中，证明：PC=PD；②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG= PD，则△POD与△PDG的面积之比为 _________ ；（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，则OP的长为 _________ 。

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Answer 1

解：（1）①过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，得∠HPN=90 ° ∴∠HPC+∠CPN=90° ∵∠CPN+∠NPD=90° ∴∠HPC=∠NPD ∵OM是∠AOB的平分线 ∴PH=PN 又∵∠PHC=∠PND=90° ∴△PCH≌△PDN ∴PC=PD ②∵PC=PD ∴∠PDG=45° ∵∠POD=45° ∴∠PDG=∠POD ∵GPD=∠DPO ∴△POD∽△PDG ∴ 。 （2）①若PC与边OA相交， ∵∠PDE＞∠CDO ∴△PDE∽△OCD ∴∠CDO=∠PED ∴CE=CD ∵CO⊥ED ∴OE=OD ∴OP= ED=OD=1 ②若PC与边OA的反向延长线相交 过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N， ∵∠PED＞∠EDC ∴△PDE∽△ODC ∴∠PDE=∠ODC ∵∠OEC=∠PED ∴∠PDE=∠HCP ∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND ∴HC=ND，PC=PD ∴∠PDC=45° ∴∠PDO=∠PCH=22.5° ∴∠OPC=180°﹣∠POC﹣∠OCP=22.5° ∴OP=OC．设OP=x，则OH=ON= ∴HC=DN=OD﹣ON=1﹣ ∵HC=HO+OC= +x ∴1﹣ = +x ∴x= 即OP=