Question

如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，

如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG。请探究：（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由。（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y最大？ （3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE。

Answer 1

解：（1）AE=CG， 理由：正方形ABCD和正方形BEFG中， ∠3+∠5=90°， ∠4+∠5=90°， ∴∠3=∠4， 又AB=BC，BE=BG， ∴△ABE≌△CBG， ∴AE=CG； （2）∵正方形ABCD和正方形BEFG， ∴∠A=∠D=∠FEB=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 又∵∠A=∠D， ∴△ABE∽△DEH， ∴   ∴ ， ∴y=-x 2 +x =-（x- ） 2 + 当x= 时，y有最大值为 ；  （3）当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE， 理由：∵E是AD中点， ∴AE= ， ∴DH= ， 又∵△ABE∽△DEH， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又∠DAB=∠FEB=90°， ∴△BEH∽△BAE。