Question

已知直线l交抛物线C：y 2 =2px（p＞0）于A，B两点，且∠AOB=90°，其中，点O为坐标原点，点A的坐标为（1

已知直线l交抛物线C：y 2 =2px（p＞0）于A，B两点，且∠AOB=90°，其中，点O为坐标原点，点A的坐标为（1，2）．（I）求抛物线C的方程；（II）求点B的坐标．

Answer 1

（I）因为点A（1，2）在抛物线y 2 =2px上， 所以2 2 =2p，-------------（2分） 解得p=2，-------------（3分） 故抛物线C的方程为y 2 =4x．-------------（4分） （II）设点B的坐标为（x 0 ，y 0 ），由题意可知x 0≠0 ， 直线OA的斜率k OA =2，直线OB的斜率k OB = y 0 x 0 ， 因为∠AOB=90°，所以k OA ?k OB = 2 y 0 x 0 =-1，-------------（6分） 又因为点B（x 0 ，y 0 ）在抛物线y 2 =4x上， 所以y 0 2 =4x 0 ，-------------（7分） 联立 y 20 =4 x 0 2 y 0 =- x 0  解得 x 0 =16 y 0 =-8 或  x 0 =0 y 0 =0 （舍），-------------（9分） 所以点B的坐标为（16，-8）．-------------（10分）