Question

如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点c（0，3）．（1）求此抛物线所对应函数的

如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点c（0，3）．（1）求此抛物线所对应函数的表达式；（2）若抛物线的顶点为D，在其对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PCD为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）抛物线与x轴交于点（-1，0）和（3，0）， 设表达式为y=a（x+1）（x-3）， 又点（0，3）在抛物线上，则3=a×1×（-3）， ∴a=-l 故所求的表达式为：y=-（x+1）（x-3），即y=-x 2 +2x+3． （2）存在． 由y=-x 2 +2x+3=-（x-1） 2 +4知，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1， ①若以CD为底边，则PC=PD．设P点坐标为（a，b）， 由勾股定理，得：a 2 +（3-b） 2 =（a-1） 2 +（4-b） 2， 即b=4-a． 又点P（a，b）在抛物线上，b=-a 2 +2a+3， 则4-a=-a 2 +2a+3．整理，得a 2 -3a+1=0， 解，得 a 1 = 3+ 5 2 ＞1， a 2 = 3- 5 2 ＜1 （不合题意，舍去） ∴ a= 3+ 5 2 ， 则 b=4- 3+ 5 2 = 5- 5 2 ， P（ 3+ 5 2 ， 5- 5 2 ）； ②若以CD为一腰，因点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称， 此时点P坐标为（2，3）， 综上所述，符合条件的点P坐标为（ 3+ 5 2 ， 5- 5 2 ）或（2，3）．