Question

已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式

已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=anlog 12an，Sn=b1+b2+b3+…+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）an+1＜0恒成立，试求m的取值范围．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q．
依题意，
有2（a₃+2）=a₂+a₄，
代入a₂+a₃+a₄=28，
得a₃=8．
∴a₂+a₄=20．
∴

a1q+a1q3＝20  a3＝a1q2＝8

解之得

q＝2 a1＝2

，或

q＝ 1 2 a1＝32

又{a_n}单调递增，
∴q=2，a₁=2，∴a_n=2ⁿ，
（2）b_n=2ⁿ?log

1

2

2ⁿ=-n?2ⁿ，
∴-S_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ①
-2S_n=1×2²+2×2³++（n-1）2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹②
①-②得，S_n=2+2²+2³++2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹
=

2(1?2n)

1?2

-n?2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n?2ⁿ⁺¹
由S_n+（n+m）a_n+1＜0，
即2ⁿ⁺¹-2-n?2ⁿ⁺¹+n?2ⁿ⁺¹+m?2ⁿ⁺¹＜0对任意正整数n恒成立，
∴m?2ⁿ⁺¹＜2-2ⁿ⁺¹．
对任意正整数n，
m