Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，FD是线段BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，且AF=CE．（1）求证：①

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，FD是线段BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，且AF=CE．（1）求证：①△EAF≌△AEC；②四边形ACEF是平行四边形；（2）连结CF，当∠B满足什么条件时，CF垂直平分AE？并说明理由．

Answer 1

（1）①证明：∵FD是线段BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠1=∠2=∠3，
∵∠ACB=90°，FD⊥BC，
∴∠FDB=∠ACB，
∴EF∥AC，
∴∠1=∠4，∠2=∠5，
∴∠4=∠5=∠3，
∴CE=AE，
又∵AF=CE，
∴AF=AE，
∴∠F=∠3=∠4=∠5，
在△EAF和△AEC中

∠F＝∠5 ∠3＝∠4 AE＝AE

，
∴△EAF≌△AEC（AAS）；

②证明：∵△EAF≌△AEC，
∴EF=AC，
∵EF∥AC，
∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）解：当∠B=30°时，CF垂直平分AE，
理由：在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=60°，
∵CE=AE，
∴△EAC是等边三角形，即AC=AE=EC，
又∵由（1）知，四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形ACEF是菱形，
∴CF垂直平分AE．