Question

设F1，F2分别是椭圆E：x2+y2b2=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|

设F1，F2分别是椭圆E：x2+y2b2=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．

Answer 1

（1）由椭圆定义知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4
又2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，得|AB|＝

4

3

（2）L的方程式为y=x+c，其中c＝

1?b2

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A，B两点坐标满足方程组

y＝x+c x2+ y2 b2 ＝1

．，
化简得（1+b²）x²+2cx+1-2b²=0．
则x1+x2＝

?2c

1+b2

，x1x2＝

1?2b2

1+b2

．
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝

2

|x2?x1|
即

4

3

＝

2

|x2?x1|．
则

8

9

＝(x1+x2)2?4x1