Question

设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列{an}：a1是自然数，an=f（an-1）（n∈N*，n≥2

设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列{an}：a1是自然数，an=f（an-1）（n∈N*，n≥2）．（Ⅰ）求f（99），f（2014）；（Ⅱ）若a1≥100，求证：a1＞a2；（Ⅲ）求证：存在m∈N*，使得am＜100．

Answer 1

（Ⅰ）解：f（99）=9²+9²=162；f（2014）=2²+0²+1²+4²=21．                       …（5分）
（Ⅱ）证明：假设a₁是一个n位数（n≥3），
那么可以设a1＝bn?10n?1+bn?1?10n?2+…+b3?102+b2?10+b1，
其中0≤b_i≤9且b_i∈N（1≤i≤n），且b_n≠0．
由a₂=f（a₁）可得，a2＝bn2+bn?12+…+b32+b22+b12．a1?a2＝(10n?1?bn)bn+(10n?2?bn?1)bn?1+…+(102?b3)b3+(10?b2)b1+(1?b1)b1
=(10n?1?bn)bn+(10n?2?bn?1)bn?1+…+(102?b3)b3+(10?b2)b1+(1?b1)b1，
所以a1?a2≥(10n?1?bn)bn?(b1?1)b1．
因为b_n≠0，所以（10^n-1-b_n）b_n≥99．
而（b₁-1）b₁≤72，
所以a₁-a₂＞0，即a₁＞a₂．                       …（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知当a₁≥100时，a₁＞a₂．
同理当a_n≥100时，a_n＞a_n+1．
若不存在m∈N^*，使得a_m＜100．
则对任意的n∈N^*，有a_n≥100，总有a_n＞a_n+1．
则a_n≤a_n-1-1，可得a_n≤a₁-（n-1）．
取n=a₁，则a_n≤1，与a_n≥100矛盾．
存在m∈N^*，使得a_m＜100．                         …（14分）