Question

已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜2π）的图象过点（π2，-2）．（1）求φ的值；（2）若f（α2）=65

已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜2π）的图象过点（π2，-2）．（1）求φ的值；（2）若f（α2）=65，-π2＜α＜0，求sin（2α-π6）的值．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜2π）的图象过点（

π

2

，-2），
∴f（

π

2

）=2sin（π+φ）=-2，
即sinφ=1．                    
∵0＜φ＜2π，
∴φ=

π

2

；
（2）由（1）得，f（x）=2cos2x．
∵f（

α

2

）=

6

5

，∴cosα=

3

5

．
又∵-

π

2

＜α＜0，
∴sinα=-

4

5

．
∴sin2α=2sinαcosα=-

24

25

，cos2α=2cos²α-1=-

7

25

．
从而sin（2α-

π

6

）=sin2αcos

π

6

-cos2αsin

π

6

=

7?24 3

50

．