Question

设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=1，b1=2

设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an，bn．

Answer 1

∵a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列
∴2b_n=a_n+a_n+1①，
a_n+1²=b_n?b_n+1②．
由②得a_n+1=

bnbn+1

③．
将③代入①得，对任意n≥2，n∈N^*，
有2b_n=

bn?1bn

+

bnbn+1

．
∵b_n＞0，
∴2

bn

=

bn?1

+

bn+1

，
∴{

bn

}是等差数列．
设数列{

bn

}的公差为d，
由a₁=1，b₁=2，a₂=3，得b₂=

9

2

．
∴

b1

=

2

，

b2

=

3 2

2

，
d=

2

2

．
∴

bn

=

n+1

2

2

，
∴b_n=

(n+1)2

2

．
a_n=

bn?1bn

=

n(n+1)

2

．