Question

如图所示，△OAB是边长为 2+ 3 的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点A在x轴的 正方向上，

如图所示，△OAB是边长为 2+ 3 的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点A在x轴的 正方向上，将△OAB折叠，使点B落在边OA上，记为B′，折痕为EF．（1）设OB′的长为x，△OB′E的周长为c，求c关于x的函数关系式；（2）当B′E ∥ y轴时，求点B′和点E的坐标；（3）当B′在OA上运动但不与O、A重合时，能否使△EB′F成为直角三角形？若能，请求出点B′的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）∵B′和B关于EF对称， ∴B′E=BE， ∴c=OB′+B′E+OE=OB′+BE+OE=x+OB= x+2+ 3 ． （2）当B′E ∥ y轴时，∠EB′O=90°． ∵△OAB为等边三角形， ∴∠EOB′=60°，OB′= 1 2 EO． 设OB′=a，则OE=2a． 在Rt△OEB′中，tan∠EOB′= B′E B′O ， ∴B′E=B′Otan∠EOB′= 3 a ； ∵B′E+OE=BE+OE=2+ 3 ， ∴a=1， ∴B′（1，0），E（1， 3 ）． （3）答：不能． 理由如下： ∵∠EB′F=∠B=60°， ∴要使△EB′F成为直角三角形，则90°角只能是∠B′EF或∠B′FE． 假设∠B′EF=90°， ∵△FB′E与△FBE关于FE对称， ∴∠BEF=∠B′EF=90°， ∴∠BEB′=180°， 则B′、E、B三点在同一直线上，B′与O重合． 这与题设矛盾． ∴∠B′EF≠90°． 即△EB′F不能为直角三角形． 同理，∠B′FE=90°也不成立． ∴△EB′F不能成为直角三角形．