Question

（2013年四川广安9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙0，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC

（2013年四川广安9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙0，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙0的切线．（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE= ，求BF的长．

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Answer 1

解：（1）证明：如图，连接OD， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°。 ∴AD⊥BC。 ∵AB=AC，∴AD平分BC，即DB=DC。 ∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线。 ∴OD∥AC。 ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE。 ∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线。 （2）∵∠DAC=∠DAB，∴∠ADE=∠ABD。 ∴在Rt△ADB中， 。 ∵AB=10，∴AD=8， ∵在Rt△ADE中， ，∴ 。 ∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA。 ∴ ，即 ，解得 。

（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论。 （2）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出AE= ，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相似比可计算出BF。