Question

已知函数f（x）=-x2+mx-m（1）若函数f（x）＜0对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）

已知函数f（x）=-x2+mx-m（1）若函数f（x）＜0对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）在[-2，2]上的最大值为3，求实数m的值；（3）是否存在整数a，b，使得不等式a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]，若存在，求出满足要求的所有a，b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由题意得，△=m²-4m＜0，
∴0＜m＜4；
（2）f（x）=-x²+mx-m
当

m

2

≥2，即m≥4时，f(x)max＝f(2)＝?4+m＝3，
∴m=7满足条件
当?2＜

m

2

＜2，即?4＜m＜4时，f(x)max＝f(

m

2

)＝

m2

4

?m＝3，
∴m=-2或6（舍）
∴m=-2
当

m

2

≤?2，即m≤?4时，f(x)max＝f(?2)＝?4?3m＝3，
∴m＝?

7

3

(舍)
综上，m=7或-2；
（3）由题意得

f(a)＝a f(b)＝a a≤f(x)max≤b

，
即

?a2+ma?m＝a ?b2+mb?m＝a a≤ m2?4m 4 ≤b

由

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