Question

画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠A

画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接CF、DF．（2）在所画图中，求证：△CDF为等腰直角三角形．

Answer 1

（1）解：∠AOB的平分线OP；线段CD的垂直平分线EF如图所示；

（2）证明：如图，过点F作FM⊥OA于M，FN⊥OB于N，
∵EF垂直平分CD，
∴CF=DF，
∵OP是∠AOB的平分线，
∴FM=FN，
在△CFM和△DFN中，

CF=DF FM=FN

，
∴△CFM≌△DFN（HL），
∴∠CFM=∠DFN，
又∵∠AOB=90°，FM⊥OA，FN⊥OB，
∴∠CFD=∠MFN=360°-3×90°=90°，
∴△CDF为等腰直角三角形．