Question

（2012?顺义区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2mx+n经过点A（-4，0）和点B（0，3），（

（2012?顺义区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2mx+n经过点A（-4，0）和点B（0，3），（1）求抛物线的解析式；（2）向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点B，求平移后抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，试问：在平移后的抛物线上是否存在一点P，使△OA′P的面积与四边形AA′B′B的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得，抛物线y=mx²+2mx+n经过点A（-4，0）和点B（0，3），
故可得：

16m?8m+n＝0 n＝3.

，
解得：

m＝? 3 8 n＝3.

．
即抛物线的解析式为：y＝?

3

8

x2?

3

4

x+3．

（2）令y=3，得?

3

8

x2?

3

4

x+3＝3，得x₁=0，x₂=-2，
∵抛物线向右平移后仍经过点B，
∴抛物线向右平移2个单位，
∵y＝?

3

8

x2?

3

4

x+3=?

3

8

(x2+2x+1)+

3

8

+3=?

3

8

(x+1)2+

27

8

，
∴平移后的抛物线解析式为y＝?

3

8

(x?1)2+

27

8

．

（3）由抛物线向右平移2个单位，得A'（-2，0），B'（2，3），
又∵四边形AA'B'B为平行四边形，
∴其面积=AA'?OB=2×3=6，
设P点的纵坐标为y_P，由△OA'P的面积=6，
故可得

1

2

OA′?|yP|＝6，即