Question

已知动圆过定点F（0，2），且与定直线L：y=-2相切．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）若AB是轨迹C的

已知动圆过定点F（0，2），且与定直线L：y=-2相切．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0，2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ．

Answer 1

（I）依题意，圆心的轨迹是以F（0，2）为焦点，L：y=-2为准线的抛物线上（2分）
因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是x²=8y（5分）
（II）∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+2．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（6分）
由

y＝kx+2 y＝ 1 8 x2.

可得x²-8kx-16=0，x₁+x₂=8k，x₁x₂=-16（8分）
抛物线方程为y＝

1

8

x2，求导得y′＝

1

4

x．
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是
k1＝

1

4

x1，k2＝

1

4

x2，k1?k2＝

1

4

x1?

1

4

x2＝

1

16

x1?x2＝?1
所以，AQ⊥BQ