Question

已知函数f（x）=ax2+x-xlnx（a＞0）（1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数

已知函数f（x）=ax2+x-xlnx（a＞0）（1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（3）当1e＜x＜y＜1时，试比较yx与1+lny1+lnx的大小．

Answer 1

（Ⅰ） 由f（1）=2，得a=1，
∵x＞0，∴x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立等价于b≤1-

1

x

-

lnx

x

，
令g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，可得g′（x）=

lnx

x2

∴x∈（0，1]时，g′（x）≤0
∴g（x）在（0，1]上递减，
在[1，+∞）上递增，所以g（x）_min=g（1）=0，
即b≤0；
（Ⅱ）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），
令f′（x）≥0得：2a≥

lnx

x

，
设h（x）=

lnx

x

（x＞0），则h′（x）=

1?lnx

x2

，
令h′（x）＞0，则0＜x＜e，令h（x）＜0，解得：x＞e，
∴当x=e时，h（x）_max=

1

e

，
∴当a≥

1

2e

时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知g（x）在（0，1]上递减，
∴

1

e

＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y）即

1+lnx

x

＞

1+lny

y

，
而

1

e

＜x＜y＜1时，-1＜lnx＜0，
∴1+lnx＞0，
∴

y

x

＜

1+lny

1+lnx

．