Question

一个四位数，千位上是最小的质数，百位上是最小的自然数，十位上的数既不是质数又不是合数，个位上是最小

一个四位数，千位上是最小的质数，百位上是最小的自然数，十位上的数既不是质数又不是合数，个位上是最小的合数，这个数是______．

Answer 1

（I）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，∴Sn＝n2+2n(n∈N*)，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1．…（2分）
当n=1时，a₁=S₁=3满足上式，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1．…（3分）
（II）∵k_n为a_n与a_n+1的等差中项
∴kn＝

an+an+1

2

＝

2n+1+2(n+1)+1

2

＝2n+2…（4分）
∴bn＝2knan＝4?(2n+1)?4n．
∴Tn＝4×3×41+4×5×42+4×7×43+…+4×(2n+1)×4n①
由①×4，得4Tn＝4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4×(2n+1)×4n+1②
①-②得：?3Tn＝4[3×4+2×(42+43+…+4n)?(2n+1)×4n+1]=4[3×4+2×

42(1?4n?1)

1?4

?(2n+1)×4n+1]
∴Tn＝

6n+1

9

?4n+2?

16

9

…（8分）
（III）∵A＝{x|x＝kn，n∈N*}，B＝{x|x＝2an，n∈N*}
∴A∩B=B
∵c_n∈A∩B，c₁是A∩B中的最小数，∴c₁=6．
∵{c_n}是公差为4的倍数的等差数列，∴c10＝4m+6(m∈N*)．…（10分）
又∵110＜c₁₀＜115，∴

110＜4m+6＜115 m∈N*

，解得m=27．
所以c₁₀=114，
设