Question

如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F． （1

如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F． （1）证明：△PCE是等腰三角形；（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．

Answer 1

解：（1）证明：∵AB=BC，∴∠A=∠C。 ∵PE∥AB，∴∠CPE=∠A。 ∴∠CPE=∠C。∴△PCE是等腰三角形。 （2）∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CM= CP= ，tanC=tanA=k。 ∴EM=CM?tanC= ?k= 。 同理：FN=AN?tanA= ?k=4k﹣ 。 由于BH=AH?tanA= ×8?k=4k，EM+FN= +4k﹣ =4k， ∴EM+FN=BH。 （3）当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16， ∴S △ PCE = x?2x=x 2 ，S △ APF = （8﹣x）?（16﹣2x）=（8﹣x） 2 ，S △ ABC = ×8×16=64。 ∴ 。 ∴当k=4时，四边形PEBF的面积S与x的函数关系式为 。 ∵ ， ∴当x=4时，S有最大值32。

（1）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证。 （2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM= CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH。 （3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S △ PCE ，S △ APF ，S △ ABC ，再根据 ，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答。