Question

基本不等式的证明~~

a,b,c属于R+ 证明a^3+b^3+c^3≥3abc

Answer 1

证明：a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)]
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)
=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a^+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(a^2+c^2-2ac)]/2
=(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]/2>=0
所以a^3+b^3+c^3>=3abc成立

Answer 2

只须证a(a^2-bc)+b(b^2-ac)+c(c^2-ab)≥0
(a+b+c)(a^2-bc+b^2-ac+c^2-ab)
=a(a^2-bc)+b(b^2-ac)+c(c^2-ab) + a(b^2-ac+c^2-ab)+b(a^2-bc+c^2-ab)
+c(a^2-bc+b^2-ac)
后面的一大串都可以消
所以只须证(a+b+c)(a^2-bc+b^2-ac+c^2-ab)
a+b+c>0,a^2-bc+b^2-ac+c^2-ab=((a-c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2)/2
所以命题成立