Question

设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn=（an+12）2成立．（1）求数列{an}的前n项和Sn；（2）记数列

设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn=（an+12）2成立．（1）求数列{an}的前n项和Sn；（2）记数列bn=an+λ，n∈N*，λ∈R，其前n项和为Tn．①若数列{Tn}的最小值为T6，求实数λ的取值范围；②若数列{bn}中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．试问：是否存在这样的“封闭数列”{bn}，使得对任意n∈N*，都有Tn≠0，且112＜1T1+1T2+1T3+L+1Tn＜1118．若存在，求实数λ的所有取值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：（1）法一：由S_n=（

an+1

2

）² 得：4Sn＝

a

2 n

+2an+1①，4Sn+1＝

a

2 n+1

+2an+1+1②，
②-①得4an+1＝

a

2 n+1

?

a

2 n

+2an+1?2an，得到2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
由题知a_n+1+a_n≠0得a_n+1-a_n=2，
又S1＝a1＝(

a1+1

2

)2，化为4a1＝

a

2 1

+2a1+1，解得a₁=1．
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
因此前n项和S_n=

n(1+2n?1)

2

=n²；
法二：由S1＝a1＝(

a1+1

2

)2，化为4a1＝

a

2 1

+2a1+1，解得a₁=1．
当n≥2时，2

Sn

＝an+1＝Sn?Sn?1+1，
得到(

Sn

?1)2＝Sn1，即

Sn

?

Sn?1

＝1
所以数列{

Sn

}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴

Sn

＝1+(n?1)×1=n，得到Sn＝n2．
（2）①由b_n+2n-1+λ得到其前n项和T_n=n²+λn，
由题意T_n最小值为T₆，即T_n≥T₆，n²+λn≥36+6λ，
当1≤n＜6时，λ≤-（6+n），∴λ≤-11．
当n＞6时，λ≥-（6+n），∴λ≥-13．
综上可得：λ∈[-13，-11]．
②因{bn}是“封闭数列”，设b_p+b_q=b_m（p，q，m∈Z^*，且任意两个不相等 ）得
2p-1+λ+2q-1+λ=2m-1+λ，化为λ=2（m-p-q）+1，则λ为奇数．
由任意n∈N^*，都有T_n≠0，且

1

12

＜

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

＜

11

18

．
得 

1

12

＜T1＜

11

18

，化为

7

11

＜λ＜11，即λ的可能值为1，3，5，7，9，
又Tn＝n2+λn＞0，因为

1

n(n+λ)

＝

1

λ

(

1

n

?

1

n+λ

)，
检验得满足条件的λ=3，5，7，9，
即存在这样的“封闭数列”{b_n}，使得对任意n∈N^*，都有T_n≠0，
且

1

12

＜

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

＜

11

18

．，
所以实数λ的所有取值集合为{3，5，7，9}．