Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3（I）若对?x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3（I）若对?x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；（II）证明：对?x1，x2∈（0，+∞）时f(x1)＞x2ex2?2e．

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：由2f（x）≥g（x），
得2xlnx≥-x²+ax-3，
由于x＞0，
则a≤

x2+3+2xlnx

x

，
设h(x)＝

x2+3+2xlnx

x

，
h′(x)＝

x2+2x?3

x2

=

(x+3)(x?1)

x2

，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
因而h（1）最小为4，那么a≤4．
（II） 证明：设φ（x）=

x

ex

?

2

e

，由已知f(x1)≥

x2

ex2

?

2

e

，
等价于f（x）的最小值不小于φ（x）的最大值，
由f′（x）=lnx+1=0时，x＝

1

e

，
知f（x）的最小值为f（

1

e

）=-

1

e

．
?′（x）=

ex?xex

e2x

 =0时，x=1，?（x）的最大值为?（1）=-

1

e

．
因而xlnx＞

x

ex

?

2

e

，从而对?x₁，x₂∈（0，+∞）时，
f(x1)≥

x2

ex2

?

2

e

．