Question

已知幂函数f（x）=（m2-m-1）x3-2m在区间（0，+∞）上单调递减．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数

已知幂函数f（x）=（m2-m-1）x3-2m在区间（0，+∞）上单调递减．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数y=x2+（a-2）x+3是偶函数，且函数g(x)＝1f2(x)?abf(x)+5的定义域和值域均是[1，b]，求实数a、b的值．

Answer 1

（1）∵幂函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴

m2?m?1＝1 3?2m＜0

，∴

m＝2或m＝?1 m＞ 3 2

，∴m=2，∴f（x）=x^-1；
（2）∵y=x²+（a-2）x+3是偶函数，∴a-2=0，即a=2，又∵f（x）=x^-1，
∴g(x)＝

1

f2(x)

?

ab

f(x)

+5=x²-2bx+5=（x-b）²+5-b²，又∵b＞1，
∴g（x）在[1，b]上是减函数，
∴

g(1)＝b g(b)＝1

，即

1?2b+5＝b b2?2b2+5＝1

，解得b=2，
综上知，a=b=2．