Question

高中数学题求高手解答下

已知抛物线y=1/4x2和圆C：x2+(y+1)2=1，点P是抛物线上的任意一点，过点P作圆C的两条切线交x轴于A，B两点，求绝对值AB的取值范围（2是平方

Answer 1

应该是左开右闭区间0到2分之三倍根号2
计算量我用3页纸，实在打不出来
可以说下方法：1. 设抛物线点p（m，1/4m方）, 则切线为 x=y - 1/4m方 = k （x - m ）

令y=0，得， x= m- m方/4k
x1= x= m- m方/4k1 x2=x= m- m方/4k2
AB=绝对值x1-x2= 绝对值内 1/4 乘m方乘 （k1 - k2）/ k1k2
2.圆心（0，-1） 半径等于1 切线方程 y - 1/4m方 = k （x - m ） 用点到直线距离等于半径列方程：整理得，16（m方-1）k方 - 8km（4+m方） + m方（m方+8）= 0
3.根与系数关系求出 k1-k2 和 k1k2 带入 第一步中
4.整理得AB = 2乘根号下1 + 8/(m方+8) - 128/(m方+8)平方
令 1/ (m方+8) = t , 则 0 ＜ t ＜ 1/8
AB = 2乘根号下 -128t方 + 8t + 1
利用二次函数求最值方法，求得 0 ＜ AB ＜ 2分之三倍根号2

Answer 2

设抛物线点P（2m，m^2 )

设切线方程 (x - k)*m^2 + ( k - 2m)*y = 0
切线与x 轴的交点满足 y = 0; 带入解得 x0 = k

已知圆C方程可得到 圆心 O（0, -1), 半径 r = 1
圆心到切线的距离等于半径。 依据 点到直线的距离公式 可得到
| -k*m^2 - (k - 2m) |^2 = m^4 + ( k-2m)^2
化简 整理成关于k的方程 ， 可得
( 2+ m^2 )k^2 - 4m*k -m^2 = 0
这个关于k的方程应该有 两个根 k1, k2.
从前面推到的切线方程与 x轴交点的关系可得
|AB| = |k1 - k2|
|AB|^2 = (k1+ k2)^2 - 4*k1*k2 = 16m^2/( m^2 + 2)^2 + 4m^2/( m^2 + 2)
设 t = m^2 + 2, 带入， 配方 化简， 可得
|AB|^2 = 4.5 - 0.5( 8/t -1)^2
因为 t ≥ 2 因此 t= 8时 |AB|^2取得最大值 4.5
最小值 在 t 的 两端 进行比较
最小 t = 2 对应 0
t 最大正无穷 对应 4
因此 AB 的取值范围 为
0 ≤ |AB| ≤ 根号4.5

Answer 3

先给出答案：（0，1】。此题为超难题，请提高悬赏！！！！

追问

过程

追答

前面计算有点错误，答案应为（0，3根号2/2]？ 若正确，请先提高悬赏！！！因 此题运算量繁琐复杂，算是给我的奖励吧！！！

Answer 4

正在做，等下给你过程

追问

还没做完么

追答

OK了，我打出来，等二十分钟

追问

还没打完吗。要不直接QQ截个图给我吧442653193

追答

抱歉，没算出来。之前写的时候没考虑到切线会与抛物线二次相交在P1点，我从圆上取点算P的，答案全错了，这题直接由P点求太难了。