Question

已知函数f（x）=sin（ωx+?）（0＜ω＜1，0≤?≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（ 3 4 π

已知函数f（x）=sin（ωx+?）（0＜ω＜1，0≤?≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（ 3 4 π ，0）对称．（1）求?，ω的值（2）求f（x）的单调递增区间（3）x∈[ - 3π 4 ， π 2 ]，求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）=sin（ωx+?）是R上的偶函数， ∴ ?= π 2 +kπ ，k∈Z，且0≤?≤π，则 ?= π 2 ， 即f（x）=cos（ωx）， ∵图象关于点M ( 3 4 π，0) 对称， ∴ ω× 3 4 π= π 2 +kπ ，k∈Z，且0＜ω＜1，∴ ω= 2 3 ， （2）由（1）得 f(x)=cos( 2 3 x) ， 由-π+2kπ≤ 2 3 x ≤2kπ且k∈Z得， 3kπ- 3π 2 ≤x≤3kπ ， ∴函数的递增区间是： [3kπ- 3π 2 ，3kπ]，k∈Z ， （3）∵x∈ [- 3π 4 ， π 2 ] ，∴ 2 3 x ∈ [- π 2 ， π 3 ] ， 当 2 3 x =0时，即x=0，函数f（x）的最大值为1， 当 2 3 x = - π 2 时，即x= - 3π 4 ，函数f（x）的最小值为0．