Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为M、N，求证：MN⊥SC。

如图，在△ABC中，∠B=90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为M、N，求证：MN⊥SC。

Answer 1

证明：∵SA⊥面ABC， 平面ABC， ∴SA⊥BC， ∵∠B=90°，即AB⊥BC，BA∩SA=A， ∴BC⊥平面SAB， ∵ 平面SAB， ∴BC⊥AN， 又∵AN⊥SB，SB∩BC=B， ∴AN⊥平面SBC， ∵ 平面SBC， ∴AN⊥SC， 又∵AM⊥SC，AM∩AN=A， ∴SC⊥平面AMN， ∵ 平面AMN， ∴SC⊥MN。