Question

（文）数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an-1．（1）求数列{an}的通项an；（2）求数列{nan}的前n项和Tn

（文）数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an-1．（1）求数列{an}的通项an；（2）求数列{nan}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵S_n=2a_n-1，
∴S_n+1=2a_n+1-1，
∴a_n+1=2a_n+1-2a_n
即a_n+1=2a_n，
∵a₁=1，
∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1；
（2）T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1①，
2T_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ②，
①-②得：-T_n=（2⁰+2¹+2²+…+2^n-1）-n×2ⁿ
=2ⁿ-1-n×2ⁿ
=-（n-1）2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ+1．