Question

已知不等式（m-1）x2-2x+1≥0（1）若不等式对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）若不等式对任意x

已知不等式（m-1）x2-2x+1≥0（1）若不等式对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）若不等式对任意x∈[2，4]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵不等式（m-1）x²-2x+1≥0对任意实数x恒成立，
∴

m?1＞0 △＝4?4(m?1)≤0

，
解得，m≥2
∴实数m的取值范围是[2，+∞）．
（2）令f（x）=（m-1）x²-2x+1，
则f（x）图象关于x＝

1

m?1

对称，
当m-1≤0时，f（x）在[2，4]上递减，f（4）=16（m-1）-7＜0，
不满足题意；
当m-1＞0时，若

1

m?1

≤2，则f（x）在[2，4]上递增，
不等式（m-1）x²-2x+1≥0对任意x∈[2，4]恒成立等价于
f（2）=4（m-1）-3≥0，
解得，m≥

7

4

；
若

1

m?1

≥4，则f（x）在[2，4]上递减，
不等式（m-1）x²-2x+1≥0对任意x∈[2，4]恒成立等价于
f（4）=16（m-1）-7≥0，
无解；
若2＜

1

m?1

＜4，则不等式（m-1）x²-2x+1≥0对任意x∈[2，4]恒成立等价于
△=4-4（m-1）≤0，无解．
综上所述，不等式对任意x∈[2，4]恒成立，实数m的取值范围是[

7

4

，+∞)．