Question

（2013?常熟市模拟）如图，在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，顶点D，C分别在射线AM、BN上运动，点E是AB上的

（2013?常熟市模拟）如图，在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，顶点D，C分别在射线AM、BN上运动，点E是AB上的动点，在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB（各动点都不与A，B重合）．经过C、D、E三点作圆．请探索以下2个问题：（1）当AB=8时，若动点E恰好是过C、D、E三点的圆与AB的切点，求CD长？（2）当AB=a时，说明△BEC的周长等于2a．

Answer 1

解：（1）∵DE⊥CE，
∴CD是过C、D、E三点作圆得直径，
设圆心为O，并连结OE，
∵点E恰好是过C、D、E三点的圆与AB的切点，
∴OE⊥AB，
又∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴OE∥AD∥BC，
∵OC=OD，
∴AE=BE=4，
∴OE是梯形ABCD的中位线，
设AD=x，则DE=8-x，
∴4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，即AD=3，
∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AED+∠ADE=90°，
∵DE⊥CE，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠AED=∠BEC，
∵△ADE∽△BEC，
∴

AD

BE

=

AE

BC

，
∴BC=

16

3

，
∴OE=

1

2

（3+

16

3

）=

25

6

，
∴CD=2OE=

25

3

．

（2）设AD=x，AE=m，则DE=a-x，
在Rt△ADE中，（a-x）²=m²+x²，
∴a²-m²=2ax，
又∵△ADE∽△BEC，
∴

C△BEC

m+a

=

a?m

x

，
∴C_△BEC=

a2?m2

x

=2a，
即△BEC的周长等于2a．