Question

已知函数f（x）=x2-ax-aln（x-1）（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）试判断是否存在实数a（a

已知函数f（x）=x2-ax-aln（x-1）（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）试判断是否存在实数a（a≥1），使y=f（x）的图象与直线y＝1+ln2无公共点（其中自然对数的底数为无理数且=2.71828…）．

Answer 1

（1）函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）的定义域是（1，+∞）．f′(x)＝2x?a?

a

x?1

＝

2x(x? a+2 2 )

x?1

，
①若a≤0，则

a+2

2

≤1，f′(x)＝

2x(x? a+2 2 )

x?1

＞0在（1，+∞）上恒成立，
∴a≤0时，f（x）的增区间为（1，+∞）
②若a＞0，则

a+2

2

＞1，故当x∈(1，

a+2

2

]时，f′(x)＝

2x(x? a+2 2 )

x?1

≤0；当x∈[

a+2

2

，+∞)时，f′(x)＝

2x(x? a+2 2 )

x?1

≥0，
∴a＞0时，f（x）的减区间为(1，

a+2

2

]，f(x)的增区间为[

a+2

2

，+∞)．
（2）a≥1时，由（1）可知，f（x）在（1，+∞）上的最小值为f(

a+2

2

)＝?

a2

4

+1?aln

a

2

．
设g(a)＝f(

a+2

2

)＝?

a2

4

+1?aln

a

2

，（ a≥1）
则g′(a)＝?

a

2

?ln

a

2

?1，
∵g′(a)＝?

a

2

?ln

a

2

?1在[1，+∞）上为减函数，∴g′（a）≤g′(1)＝?

1

2

?ln

1

2

?1＝?

3

2

+ln2＜0
∴g(a)＝?

a2

4

+1?aln

a

2

在[1，+∞）上单调递减，
∴g（a）_max=g（1）=

3

4

+ln2，
∵

3

4

+ln2-