Question

设函数f（x）=sinx+cosx和g（x）=2sinxcosx．（1）若a为实数，试求函数F（x）=f（x）+ag（x），x∈[0，π

设函数f（x）=sinx+cosx和g（x）=2sinxcosx．（1）若a为实数，试求函数F（x）=f（x）+ag（x），x∈[0，π2]的最小值h（a）；（2）若存在x0∈[0，π2]，使|af（x）-g（x）-3|≥12 成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）F（x）=sinx+cosx+2asinxcosx，
令sinx+cosx=t，t∈[1，

2

]，则2sinxcosx=t²-1，
F（x）=m（t）=at²+t-a，t∈[1，

2

]．…2分
①当a＜0时，m（t）=at²+t-a=a(t+

1

2a

)2-

1

4a

-a是开口向下，对称轴t=-

1

2a

的抛物线．
若t=-

1

2a

≥

1+ 2

2

，即1-

2

≤a＜0，则h（a）=m（1）=1．
若t=-

1

2a

＜

1+ 2

2

，即a＜1-

2

，则h（a）=m（

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