Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求

如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求证：△FDC∽△FBD；（2）求证：DFBF＝ACBC．

Answer 1

（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵E是AC的中点，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠ACB=90°，∠BDC=90°
∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠ECD=∠B，
∴∠FDC=∠B，
∵∠F=∠F，
∴△FBD∽△FDC；

（2）∵△FBD∽△FDC，
∴

DF

BF

＝

DC

BD

，
∵△BDC∽△BCA，
∴

DC

BD

＝

AC

BC

，
∴

DF

BF

＝

AC

BC

．