Question

已知函数f（x）=x2+2x+ax，x∈[1，+∞）．（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞

已知函数f（x）=x2+2x+ax，x∈[1，+∞）．（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=4时，
f（x）=

x2+2x+4

x

=x+

4

x

+2≥2

x× 4 x

+2=6，（当且仅当x=2时取得相等），
即函数最小值为6；
（2）f（x）＞0即x+

a

x

+2＞0对任意x∈[1，+∞），恒成立，
即a＞-x（x+2）
a＞-（x+1）²+1，
令g（x）=-（x+1）²+1，
g（x）的最大值为当x=1时取得，为g（1）=-3
所以有a＞-3．