Question

已知函数f(x)=-1/3x^3+bx^2+cx+bc,其导函数为f'(x).令g(x)=|f'(x)|,记函数g(x)在区间[-1,1]的最大值为M。

已知函数f(x)=-1/3x^3+bx^2+cx+bc,其导函数为f'(x).令g(x)=|f'(x)|,记函数g(x)在区间[-1,1]的最大值为M。
（1）若|b|>1，证明对任意c都有M>2.
(2)若M>=k对任意的b,c恒成立。试求k的最大值。

Answer 1

由于f(x)=-1/3x^3+bx^2+cx+bc，
所以g(x)=|f'(x)|=|-x^2+2bx+c|
（1）对于二次函数-x^2+2bx+c，他的顶点的x坐标为b，由于|b|>1，所以顶点不在[-1,1]内，所以函数g(x)在区间[-1,1]的最大值只能在x=1或-1时取得，所以M=max(|-1+2b+c|,|-1-2b+c|),
因为|-1+2b+c|+|-1-2b+c|>=|(-1+2b+c)-(-1-2b+c)|=|4b|>4
所以|-1+2b+c|和|-1-2b+c|至少有一个大于2，所以M>2 且对于任意c都成立

(2)...

Answer 2

k=4