Question

己知函数fx=3^x-1/3^x+1，求fx的值并判断证明f×的奇偶性及单调性

Answer 1

f(x)=(3^x-1)/(3^x+1)
定义域为R
f(-x)=(1/3^x-1]/(1/3^x+1)=(1-3^x)/(1+3^x)=-f(x)
因此f(x)为奇函数

又f(x)=(3^x+1-2)/(3^x+1)=1-2/(3^x+1)
因为在R上3^x+1单调增且为正，故2/(3^x+1)单调减，-2/(3^x+1)单调增，
因此f(x)在R上单调增。

Answer 2

底数3>0，3^x恒>0，3^x+1≠0，对任意实数x，分式恒有意义，函数定义域为R，关于原点对称。
f(-x)=[3^(-x)-1]/[3^(-x)+1]
=(1-3^x)/(1+3^x)
=-(3^x -1)/(3^x+1)
=-f(x)
函数是奇函数。
设x2>x1
f(x2)-f(x1)
=(3^x2-1)/(3^x2+1)-(3^x1-1)/(3^x1+1)
=[(3^x2-1)(3^x1+1)-(3^x1-1)(3^x2+1)]/[(3^x2+1)(3^x1+1)]
=2(3^x2-3^x1)/[(3^x2+1)(3^x1+1)]
3^x2+1>0，3^x1+1>0，2>0
底数3>1，随指数增大单调递增，3^x2>3^x1，3^x2-3^x1>0
2(3^x2-3^x1)/[(3^x2+1)(3^x1+1)]>0
f(x2)>f(x1)
函数在R上单调递增。

Answer 3

因f(x)不等于f(-x),-f(-x),所以是非奇非偶
设x1>x2，f(x1)-f(x2)=3^x1-3^x2-(3^(-x1)-3^(-x2))
3^x1-3^x2>0,3^(-x1)<3^(-x2)
所以 f(x1)-f(x2)>0 单调递增