Question

设un≤cn≤vn,(n=1,2,…),并且级数∑n=1∞和∑n=1∞vn都收敛,证明级数∑n=

∞

Answer 1

令an=vn-un，bn=cn-un，则an＞bn＞0．又∑n=1∞un与∑n=1∞vn都收敛，所以∑n=1∞an收敛，由正项级数的比较收敛法，∑n=1∞cn也收敛，而cn=bn+un，∑n=1∞bn与∑n=1∞un都收敛，所以∑n=1∞cn也收敛．此题如直接用比较法是错误的，因为已知的级数不一定是正项级数．因此，首先要用所给级数构造出两个正项级数，再由它们来证明∑n=1∞cn收敛．

Answer 2

简单计算一下即可，详情如图所示