Question

泰勒级数与泰勒展开式的区别？

Answer 1

泰勒级数就类比于无限小数，一直写下去，没完没了，所以足够精确
但是，你实际写的时候是不可能全部写出来的，在精确度要求不高的情况下，写出前几项就行，后面的就不写了，取而代之的是余项。这个就是泰勒展开式
打个比喻：我问你圆周率是多少，你告诉我两个答案：第一个答案是π，第二个答案是3.14+a，其中a=0.0015926585897932384……。在这里，π就相当于泰勒级数，而3.14+a就是泰勒展开式，第二个答案中的a就是泰勒展开式中的余项

Answer 2

泰勒级数是函数展开成有限项的幂级数；
泰勒展开式是满足幂级数收敛于f(x)，而将f(x)展开成无限项幂级数的精确表示。

追问

为什么貌似没有区别？

追答

一句话概括：泰勒级数表示函数是有误差的，误差值是拉格朗日余项；而泰勒展开式是函数的幂级数形式的精确表示。

Answer 3

一个k次可导的函数都可以有k阶泰勒展开式（我只说带佩亚诺余项的）；
但是一个只是k次可导的函数就一定没有泰勒级数了。（比如说，y=sinx+x*|x|，它可以有1阶的泰勒展开y=x+o(x)）

即使是无穷可微的函数也不一定能在恰好某一点处展成泰勒级数。比如柯西的反例：
f(x)=exp(-x^(-2)).
f无穷次可微，在x=0处所有阶导数都为0。f的任意阶泰勒展开都是0多项式。然而f在0点不能写成泰勒级数。因为这个级数和恒等于0，不是原来的f(x)。

Answer 4

函数在U(x)内能展开成幂级数，则这个幂级数展开式是唯一的，也就是泰勒展开式。
只要函数f(x)在U(x)内具有任意阶导数，就可以得到泰勒级数式。
一句话来讲就是，泰勒级数式能一直写下去。

Answer 5

引用CAOGUOZHONGYJ的回答：
泰勒级数是函数展开成有限项的幂级数；
泰勒展开式是满足幂级数收敛于f(x)，而将f(x)展开成无限项幂级数的精确表示。

这个回答把结论说反了，展开式有无穷小的误差，级数是完全精确