Question

大学物理：均质圆柱壳（质量为M，半径为R，宽度为W）转轴沿直径方向通过柱壳中心，如何证明转动惯量为

大学物理：均质圆柱壳（质量为M，半径为R，宽度为W）转轴沿直径方向通过柱壳中心，如何证明转动惯量为1/2mr^2+1/12mw^2

Answer 1

平行轴定理 结合 积分
把 圆柱壳 分成很多个 细圆环。取其中一个，圆环的宽为 dx ,其轴线 距离 圆柱壳转动轴距离为 x
其质量 dm=(m/w)dx
由平行轴定理，其对圆柱转动轴的转动惯量 dJ=(dm)r²/2 + (dm)x²= (mr²/2w)dx +(m/w)x²dx
所以 圆柱壳的转动惯量：
J=∫dJ=(mr²/2w)∫dx+ (m/w)∫x²dx
代入 积分上限 w/2 下限 -w/2 积分可得：
J=mr²/2 +mw²/12

追问

单个圆环的转动惯量是怎么求 就是那个 (dm)r²/2 怎么来的

追答

取如图微元   dm=mdθ/2π    微元对轴的转动惯量 dJ= dm (rsinθ)²

则圆环对轴的转动惯量：J=2∫dJ=(mr²/π)∫sin²θdθ =(mr²/π)[(θ/2)-(sin2θ)/4] 

代入积分上限 π   下限0 可得：J=mr²/2

追问

谢谢