Question

高等数学间断点问题

试例举出具有以下性质的函数f(x)的例子: x=0,+(-)1,+(-)2,+(-)1/2,......,+(-)n,+(-)1/n,......是f(x)的所有间断点，且它们都是无穷间断点。

Answer 1

令A={0，±1，±2，±1/2，±3，±1/3 .....}
f(x)定义如下
f(x)= tan(πx/2) 若|x|>1，x不属于A
f(x)= tan(π/(2x)) 若|x|<1，x不属于A
f(x)= 0 若x∈A

这个函数可以满足要求

Answer 2

这样的函数很多，比如我随便举一个，f(x)=1/sin(n*pi/x)，在你所说的那些点x=0,+(-)1,+(-)2,+(-)1/2,......,+(-)n,+(-)1/n,......都是间断点，而且是无穷间断点。pi=3.1415926...，n为任意一自然数。希望对你有帮助。

Answer 3

答：
定义f(x)= tan[(2x+1)π/2](当x为整数), tan[(1+2/x)π/2](当x不为整数)
则x符合以上情况时为f(x)第二类间断点，且都为无穷间断点。

如果不要分段函数的话，这个函数可以：
f(x)=1/sin(πx) + 1/sin(π/x)

Answer 4

弄个分段函数不就行了。
f(x)=g(x) x不等于0,+(-)1,+(-)2,+(-)1/2,......,+(-)n,+(-)1/n,......
f(x)=0 x=0,+(-)1,+(-)2,+(-)1/2,......,+(-)n,+(-)1/n,......