大一高数－求微分方程的通解
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微分方程的通解如下：
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先求齐次方程y''=0的通解,为Y=C1+C2x
再求y''=xe^x的一个特解,这里f(x)=xe^x,是Pm(x)=x,λ=1的情况.
λ=1不是特征方程r²=0的根,所以特解的形式为y0=Qm(x)e^x,Qm(x)=ax+b
y0'=ae^x+(ax+b)e^x
y''=ae^x+ae^x+(ax+b)e^x=(2a+b)e^x+axe^x=xe^x
∴2a+b=0,a=1
∴b=-2,∴y0=(x-2)e^x
∴y=C1+C2x+(x-2)e^x
再求y''=xe^x的一个特解,这里f(x)=xe^x,是Pm(x)=x,λ=1的情况.
λ=1不是特征方程r²=0的根,所以特解的形式为y0=Qm(x)e^x,Qm(x)=ax+b
y0'=ae^x+(ax+b)e^x
y''=ae^x+ae^x+(ax+b)e^x=(2a+b)e^x+axe^x=xe^x
∴2a+b=0,a=1
∴b=-2,∴y0=(x-2)e^x
∴y=C1+C2x+(x-2)e^x
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