Question

线性代数，特征值计算题第6题求过程

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Answer 1

求解行列式方程|A-λE|=0，得矩阵A的特征根：1 1 10

求解(A-1E)X=0的基础解系为：
(-2 1 0)^T
(2 0 1)^T

一般说来重根的基础解系不一定是正交的，下面将其正交化
正交化方法如下：B1=A1
B2 = A2 -B1 x (A2，B1)/(B1,B1)

正交化后的结果是：
(-2 1 0)^T
(0.4 0.8 1)^T

将其单位化得：
(-0.89443 0.44721 0)^T
(0.29814 0.59628 0.74536)^T

求解(A-10E)X=0的基础解系为：
(-0.5 -1 1)^T

将其单位化得：
(-0.33333 -0.66667 0.66667)^T

将单位化后的基础解系合并，即得所求正交矩阵：
T =
-0.8944 0.2981 -0.3333
0.4472 0.5963 -0.6667
0 0.7454 0.6667
注：因为特征根的顺序不唯一，所以得到的正交矩阵T也不是唯一的

其中T^(-1)AT = T'AT =
1 0 0
0 1 0
0 0 10

Answer 2

若无重特征值，特征向量必正交，不用正交化，直接单位化即可。
若有重特征值，对应重特征值的特征向量需要正交化，再单位化。
本题计算很繁，请仿照书上类似例题仔细做就是了，没有技巧。

追问

 

 

老师，计算没问题，这个结果对吗？

追答

T 是正交阵，
若你已验证 T^(-1)AT = T^t AT =diag(1, 1, 10)， 则正确。