Question

设P1，P2，…，Pj为集合P={1，2，3，…，i}的子集，其中i，j为正整数．记aij为满足P1

设P1，P2，…，Pj为集合P={1，2，3，…，i}的子集，其中i，j为正整数．记aij为满足P1∩P2∩…∩Pj=∅的有序子集组（P1，P2，…，Pj）的个数．
（Ⅰ）求a22的值；
（Ⅱ）求aij的表达式．

Answer 1

解：（1）由题意得P1，P2为集合P={1，2}的子集，
因为P1∩P2=∅，所以集合P={1，2}中的元素“1”共有如下3种情形：
1∈P1且1∉P2；1∉P1且1∈ P2；1∉P1且1∉P2；
同理可得集合P={1，2}中的元素“2”也有3种情形，
根据分步计数原理，可得a22=3×3=9； …4分
（2）考虑P={1，2，…，i}中的元素“1”，有如下情形：
1不属于P1，P2，…，Pj中的任何一个，共Cj0种；
1只属于P1，P2，…，Pj中的某一个，共Cj1种；
1只属于P1，P2，…，Pj中的某两个，共Cj2种；
…
1只属于P1，P2，…，Pj中的某（j-1）个，共Cjj-1种，
根据分类计数原理得，元素“1”共有Cj0+Cj1+Cj2+…+Cjj-1=2j-1种情形，…8分
同理可得，集合P={1，2，…，i}中其它任一元素均有（2j-1）种情形，
根据分步乘计数原理，得满足条件有序子集组（P1，P2，…，Pj）的个数总共有（2j-1）i个，
即aij=（2j-1）i． …