Question

已知函数，f(x)=mx-(m+2)lnx-2/x， g(x)=x²+mx+1，m∈R. (1)当

已知函数，f(x)=mx-(m+2)lnx-2/x，
g(x)=x²+mx+1，m∈R.
(1)当m＜0时，①求f(x)的单调区间；
②若存在x1，x2∈[1，2]，使得f(x1)-g(x2)≥1成立，求m的取值范围；
(2)设h(x)=(lnx+1)/e^x的导函数h'(x)，
当m=1时，求证:[g(x)-1]h'(x)＜1+e^(-2)

Answer 1

f'(x)=m-(m+2)/x+2/x² =(2/x - m)(1/x - 1) = 2(1/x - m/2)(1/x -1)
f(x)定义域(0,+∞)

(1)当m＜0时

①令f'(x)≤0，解得 m/2≤1/x≤1 且x>0，即 x≥1
令f'(x)≥0，解得 1/x≥1 或 1/x≤m/2 且x>0，即 0<x≤1
即 f(x)单调递减区间[1,+∞),
单调递增区间(0,1]

②
由①知道f(x)在[1,2]单调递减
f(1)=m-2
f(2)=2m-(m+2)㏑2-1
则在[1,2]区间上，
f(x)最小值f(2)=2m-(m+2)㏑2-1
f(x)最大值f(1)=m-2

g(x)抛物线对称轴是x=-m/2 >0
g(1)=2+m
g(2)=5+2m
g(-m/2)=1-m²/4

要使f(x1)-g(x2)≥1成立，等价于不等式左侧可能的最大值要≥1才行。

当1≤-m/2≤2（对称轴在区间之内），即-4≤m≤-2时，
g(x)在x=-m/2（对称轴处）取得最小值g(-m/2)=1-m²/4
此时f(x₁)-g(x₂)的最大值为f(1)-g(-m/2)=m-2-(1-m²/4)=m²/4+m-3≥1

则m²+4m-16≥0
即(m+2)²≥20
结合-4≤m≤-2
解得 m无解。

当-m/2<1（对称轴在区间左侧），即-2<m<0时，
g(x)在x=1处取得最小值g(1)=2+m
此时f(x₁)-g(x₂)的最大值为f(1)-g(1)=m-2-(2+m)=-4<1
此时[1,2]区间上不可能存在x₁，x₂，使得f(x₁)-g(x₂)≥1成立

当-m/2>2（对称轴在区间右侧），即m<-4时，
g(x)在x=2处取得最小值g(2)=5+2m
此时f(x₁)-g(x₂)的最大值为f(1)-g(2)=m-2-(5+2m)=-m-7≥1
解得 m≤-8

因此m取值范围是(-∞,-8]

(2)

当m=1时
g(x)-1=x²+x+1-1=x²+x
由于x>0，显然g(x)-1>0

h'(x)
=((㏑x+1)e^(-x))'
=(1/x)e^(-x)-(㏑x+1)e^(-x)
=(1/x-㏑x-1)e^(-x)

设F(x)=1/x-㏑x-1

F'(x)=-1/x²-1/x=-(1/x + 1)/x
由于x>0，显然F'(x)<0，即F(x)单调递减
而F(1)=0，则
当0<x<1时，F(x)>F(1)=0
当x>1时，F(x)<F(1)=0

设函数G(x)=[g(x)-1]h'(x) = (x²+x)F(x)e^(-x)
注意到e^(-x)>0
则
当0<x<1时，G(x)>0
当x>1时，G(x)<0
当x=1时，G(x)=0

显然当x≥1时，G(x)≤0＜1+e⁻²

因此，我们只需证明
当0<x<1时，G(x)＜1+e⁻² 也成立。

G'(x)=(2x+1)F(x)e^(-x)+(x²+x)(F'(x)e^(-x)-F(x)e^(-x))
=e^(-x)((1+x-x²)F(x)+(x²+x)F'(x))
=e^(-x)((1+x-x²)F(x)-(x+1)(1/x + 1) )
=e^(-x)((1+x-x²)F(x)-(2+x+1/x) )
由于x>0,因此e^(-x)>0， 1+x-x²<0， F(x)>0, 2+x+1/x>0
则G'(x)<0, 即G(x)单调递减

G(x)=(x²+x)F(x)e^(-x)
=(x²+x)(1/x-㏑x-1)e^(-x)
=(x+1)(1-x㏑x-x)e^(-x)

下面我们来求G(x)在x=0时的极限值，这个极限值就是G(x)
在(0,1)上的一个上界。
先看
lim(x→0+, x㏑x)=lim(x→0+, ㏑x /(1/x))= 0
则lim(x→0+, G(x))=(0+1)(1-0-0)e^(-0)=1

因此G(x)在(0,1)上有，G(x)<1＜1+e⁻²
综合之前，我们得出的[1,+∞)上G(x)≤0＜1+e⁻²
可以得出结论：
G(x)<1+e⁻²

追问

最后上界那里还没学所以没看懂π_π

追答

简而言之，由于G(x)单调递减，因此x=0时，取得最大值
但由于x=0，无定义（不在定义域里面），因此只能取G(x)极限值
这个极限值，就可以认为是"最大值"

追问

噢噢噢☆

1+x-x²为什么会小于0？

？？？

Answer 2

(1)当m＜0时，
①f(x)=mx-(m+2)lnx-2/x
定义域x>0
f'(x)=m-(m+2)/x+2/x²
=[mx²-(m+2)x+2]/x²
驻点：x₀=[ (m+2)±(2-m)]/2m=1 (2/m<0,舍去）
x∈(0,1),f'(x)>0,f(x)单调递增
x∈(1,+∞),f'(x)<0,f(x)单调递减
②x₁∈[1,2] f(x₁)单调递减，最大值=f(1)=m-2
g'(x)=2x+m
驻点x=-m/2
-4<m<-2,g(x)存在最小值g(-m/2)=1-m²/4
m-2-(1-m²/4)≥1→m-4+m²/4)≥0→m²+4m-16>0
m<-2-2√6
m<-6与-4<m<-2不符。
∴驻点不在区间范围，-2<m<0,或m<-4
-2<m<0,g'(x)>0,单调递增，最小值=g(1)=m+2>f(1),无解
m<-4,g'(x)<0,单调递减，最小值=g(2)=2m+5
m-2-(2m+5)≥1
m≤-8即为m的取值范围

追问

第二问？