Question

这是一道高数的定积分，求f（x）的问题。

我好想知道怎么做啊！跪求！

Answer 1

先求：
[∫(x-t)f(t)dt]‘
=[∫xf(t)dt-∫tf(t)dt]'
=[x∫f(t)dt]'-[∫tf(t)dt]'
=∫f(t)dt+xf(x)-xf(x)
=∫f(t)dt
方程两边对x求导：
f'(x)=2e^2x-∫f(t)dt 1)
再求导： f"(x)=4e^2x-f(x)
特征方程为r²+1=0, 得r=i, -i
设特解y*=ae^2x, 代入方程得： 4a+a=4, 得a=4/5
故f(x)=C1cosx+C2sinx+(4/5)e^(2x)
再代入原方程
C1cosx+C2sinx+(4/5)e^(2x)=e^(2x)-∫(x-t)[C1cost+C2sint+(4/5)e^2t]dt
令x=0, 得C1+4/5=1, 得：C1=1/5
代入1)得： -C1sinx+C2cosx+(8/5)e^(2x)=2e^(2x)-∫[C1cost+C2sint+(4/5)e^2t]dt
令x=0得： C2+(8/5)=2, 得：C2=2/5
所以f(x)=(1/5)cosx+(2/5)sinx+(4/5)e^(2x)