Question

求解∫csc³xdx的不定积分

Answer 1

∫csc³xdx=[ln|cscx-cotx|-cscxcotx]/2+C。C为积分常数。

解答过程如下：

∫csc^3xdx

=-∫cscxd(cotx)

=-cscxcotx+∫cotxd(cscx)

=-cscxcotx-∫cscxcot^2xdx

=-cscxcotx-∫cscx(csc^2x-1)dx

=-cscxcotx-∫csc^3xdx+∫cscxdx

=-cscxcotx-∫csc^3xdx+ln|cscx-cotx|

由此可得：

∫csc^3xdx=[ln|cscx-cotx|-cscxcotx]/2+C

扩展资料：

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

Answer 2

运用分部积分法求解
∫csc^3xdx
=-∫cscxd(cotx)
=-cscxcotx+∫cotxd(cscx)
=-cscxcotx-∫cscxcot^2xdx
=-cscxcotx-∫cscx(csc^2x-1)dx
=-cscxcotx-∫csc^3xdx+∫cscxdx
=-cscxcotx-∫csc^3xdx+ln|cscx-cotx|
所以∫csc^3xdx=[ln|cscx-cotx|-cscxcotx]/2+C，其中C是任意常数

Answer 3