Question

奇函数f(x)的定义域为R,且在[0,+∞)上是增函数,当0≤θ≤π/2时,是否存在实数m

奇函数f(x)的定义域为R,且在[0,+∞)上是增函数,当0≤θ≤π/2时,是否存在实数m,使f（4m-2mcosθ）-f（2sin²θ+2）＞f（0）对所有θ∈[0,π/2]求出所有适合条件的实数m。

Answer 1

f(0) = -f(0)
=> f(0) = 0

f（4m-2mcosθ）-f（2sin²θ+2）＞f（0）
= 0
=> f（4m-2mcosθ）> f（2sin²θ+2）
0≤θ≤π/2
4m-2mcosθ > 0 and 2sin²θ+2 > 0

=> 4m-2mcosθ > 2sin²θ+2
4m-2mcosθ > - cos²θ
cos²θ -2mcosθ + 4m > 0
△ = 4m^2-16m = 4m(m-4）≥ 0
m≤ 0 or m ≥ 4

Answer 2

奇函数f(x) 在[0,+∞)上是增函数,则它在（-∞，0]上也是增函数,
故函数在R上是增函数。
f(-0)=-f(0), f(0)=-f(0), 2 f(0)=0, f(0)=0.
f（4m-2mcosθ）-f（2sin²θ+2）＞f（0）可化为：
f（4m-2mcosθ）-f（2sin²θ+2）＞0，
f（4m-2mcosθ）> f（2sin²θ+2）,
4m-2mcosθ> 2sin²θ+2
m(2-cosθ)> sin²θ+1,
设2-cosθ=t∈[1,2]. cosθ=2-t, sin²θ=1-(2-t)²,
上式可化为：mt>1-(2-t)²+1,
m>(-2+4t-t²)/t=-(2/t+t)+4.
2/t+t≥2√2，-(2/t+t)+4≤-2√2+4，
m只需大于函数-(2/t+t)+4的最大值，m>-2√2+4.

Answer 3

解：

由题意，f(x)在x=0处有定义且在[0,+∞)上是增函数，

故f(x)在(－∞,+∞)上连续且为增函数

由f(0)=-f(-0)，得f(0)=0

f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)＞f(0)=0

移向变形得

f(cos2θ-3)>-f(4m-2mcosθ)=f(2mcosθ-4m)

∴由f(x)(－∞,+∞)上连续且为增函数,得

cos2θ-3>2mcosθ-4m

2cos²θ-4-2mcosθ+4m>0

cos²θ-mcosθ+(2m-2)>0

根据题意，θ∈[0，π/2]时，cosθ∈[0，1]

令t=cosθ∈[0，1]

则，题目变成t∈[0，1]时，t²-mt+(2m-2)>0恒成立，求m的取值范围

令f(t)=t²-mt+(2m-2)，此函数对应的抛物线开口向上，对称轴t=m/2,

分类讨论：

①当此抛物线对称轴t=m/2在区间[0，1]内时，m∈[0，2],

函数最小值(2m-2)-m²/4>0即可，此时m²-8m+8<0,

∴4-2√2<m≤2

②当对称轴在(－∞，0)时，m<0,

只要f(0)>0即可，此时2m-2>0,推出m>1，与m<0矛盾，此情况不成立，舍去

③当对称轴在(1,＋∞)时，m>2,

只要f(1)>0即可，此时1-m+2m-2=m-1>0，推出m>1，

∴m>2

综上所述，m的取值范围是(4-2√2,+∞)